RSS

METODE SAPUAN GANDA


SOAL :

3x1 -5x2 +10x3 +4x4 = 54,75
x1 + 4x2 - 2x3 +6x4 =27
6x1 +5x2 +3x3 -2x4 = 23,25
-8x1 -6x2 +5x3 +7x4 = 34,25
Selesaikan persamaan linier di atas dengan Metode Tridiagonal (Metode Sapuan Ganda Choleski)

PENYELESAIAN :

Pada prinsipnya bentuk daripada pengerjaan Metode Tridiagonal adalah sebagai berikut :
1.            membentuk persamaan-persamaan linier ke dalam bentuk
 

            b1x1 + c1x2                                           = d1
            a2x2 + b2x2 + c2x3                                            = d2
                   + a3x2  + b3x3 + c3x4                             = d3
                         .          .          .         .              =  .
+ aixi-1 + bixi + cixi+1     = di
                   .           .         .           =  .
                             .         .             =  .
                                anxn-1 + bnxn  =  dn

2.            Kemudian penyelesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan berikut :
            Xi = Pixi+1 +Qi
Dengan :
Pi = -
Qi =




Sementara urutan pengerjaannya seperti pada skema dibawah ini :

Pi, Qi (i =1,2,3,4)

P1, Q1                               P2, Q2                          P3, Q3                                   P4, Q4
                                                                                                                                                   
              i=1                                2                                   3                                  4      
              x1                                 x2                                  x3                                 x4                                
 

xi (i =1,2,3,4)
dengan catatan :
i merupakan nilai persamaan linier yang akan dicari.

Dari soal kita tentukan :
a.          Menentukan variable
1.      3x1 -5x2 +10x3 +4x4 = 54,75
b1          c1
2.      x1 + 4x2 - 2x3 +6x4 =27
a2          b2       c2
3.      6x1 +5x2 +3x3 -2x4 = 23,25
          a3    b3     c3
4.      -8x1 -6x2 +5x3 +7x4 = 34,25
                   a4       b4

b.         Menghitung koefisien Pi dan Qi (i=1,2,3,4)
Menggunakan rumus Pi dan Qi  yang telah ditulis di atas,
Pi = -
Qi =
kemudian dikerjakan menggunakan excel didapat hasil :
i
P
Q
1
1,66667
18,25000
2
0,35294
1,54412
3
0,41975
3,25926
4
0,00000
1,97320

c.          Menghitung xi
Dengan menggunakan rumus
            Xi = Pixi+1 +Qi
Kemudian dilakukan penghitungan menggunakan program Ms.Excel, didapat hasil :
x4=q4
1,97
x3
4,09
x2
2,99
x1
23,23

d.         Kemudian dari hasil xi yang diperoleh, dilakukan pengecekan dengan memasukkan nilai xi yang telah didapatkan ke dalam persamaan linier pada soal.
Menggunakan program Ms.Excel didapat hasil :
Persamaan
Hasil d =
1
103,518
2
38,83921
3
162,6177
4
-169,494

Dan.. Hasilnya ternyata tidak sama dengan nilai d pada persamaan awal pada soal. Sehingga jawaban xi yang diperoleh adalah SALAH.

Dari hasil yang diperoleh dalam analisis kelompok kami :
1.      Cara dan urutan pengerjaan sudah tepat sesuai dengan Metode Tridiagonal
2.      Kesalahan yang terdapat pada hasil akhir nilai xi bukan dikarenakan kesalahan penghitungan, namun dikarenakan soal tersebut di atas tidak dapat diselesaikan dengan Metode Tridiagonal, karena :
Bentuk awal dari persamaan pada soal, tidak memenuhi bentuk umum dari Metode Tridiagonal.
3.      Kami mencoba dengan salah satu metode gaussian sebagai berikut :








Dengan pengecekan melalui matlab dengan salah satu metode gaussian yaitu

Matematis :
X  = รจ  = inv    X 

                          =   X

 = 


Perhitungan dengan Matlab

>> y= [ 3 -5 10 4 ; 1 4 -2 6 ; 6 5 3 -2 ; -8 -6 5 7 ]

y =
     3    -5    10     4
     1     4    -2     6
     6     5     3    -2
    -8    -6     5     7

>> f=[54.75 ; 27 ; 23.25 ; 34.25]

f =
   54.7500
   27.0000
   23.2500
   34.2500

>> k= inv(y)

k =

    0.1232    0.0613   -0.1117   -0.1549
   -0.1172    0.0141    0.2090    0.1146
   -0.0164   -0.0619    0.1644    0.1094
    0.0521    0.1264   -0.0659   -0.0141

>> ans= inv(y)*f

ans =

    0.5000
    2.7500
    5.0000
    4.2500

Jadi Akar – akar dari soal di atas adalah {0,5 ; 2,75 ; 5 ; 4,25}

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

METODE KOMPUTASI NUMERIK KD 1


UJIAN KOMPETENSI DASAR 1
METODE KOMPUTASI DAN NUMERIK

















Dibimbing Oleh :
ACHMAD BASUKI S.T. , M.T.


Dikerjakan Oleh  :
BAGUS HENDRI S.              I 0109015



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2011

SOAL :

2x3 – 22x2 – 162x + 630   , Carilah 3 akar persamaan tersebut dengan metode :
1.      Interpolasi Linier
2.      Newton Raphson
3.      Secant

PENYELESAIAN :

1.     Metode Interpolasi Linier

Langkah pertama adalah menghitung nilai f(x) pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai f(x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda.
Untuk              x1 =1,              f(x1 = 1) =  448
                        x2 =4,              f(x2 = 4) = -242
dengan menggunakan persamaan dibawah ini didapat :
  = 2,94783
f = 2(2,94783)3 – 22(2,94783)2 – 162(2,94783) + 630 = 12,51057
karena f bertanda tangan positif maka akar terletak antara x = 2,94783 dan x = 4. Selanjutnya dihitung nilai   :
  = 2,99955
f = 2(2,99955)3 – 22(2,99955)2 – 162(2,99955) + 630 = 0,10893
Prosedur perhitungan tersebut di atas dilanjutkan dengan menggunakan program komputer dan hasilnya diberikan pada tabel 2.1




Tabel 2.1 Hasil Perhitungan dengan Metode Interpolasi Linear

No
xi
x(i+1)
x*
f(xi)
f(xi+1)
f(x*)
1
1,00000
4,00000
2,94783
448,00000
-242
12,51057
2
2,94783
4,00000
2,99955
12,51057
-242
0,10893
3
2,99955
4,00000
3,00000
0,10893
-242
0,00090
4
3,00000
4,00000
3,00000
0,00090
-242
0,00001

Dengan cara yang sama diperoleh akar – akar yang lainnya
No
xi
x(i+1)
x*
f(xi)
f(xi+1)
f(x*)
1
-6,00000
-8,00000
-6,85520
378,00000
-506
62,37466
2
-6,85520
-8,00000
-6,98084
62,37466
-506
8,40865
3
-6,98084
-8,00000
-6,99750
8,40865
-506
1,10156
4
-6,99750
-8,00000
-6,99967
1,10156
-506
0,14376
5
-6,99967
-8,00000
-6,99996
0,14376
-506
0,01875
6
-6,99996
-8,00000
-6,99999
0,01875
-506
0,00245
7
-6,99999
-8,00000
-7,00000
0,00245
-506
0,00032
8
-7,00000
-8,00000
-7,00000
0,00032
-506
0,00004

No
xi
x(i+1)
x*
f(xi)
f(xi+1)
f(x*)
1
14,00000
16,00000
14,87170
-462,00000
598
-66,62825
2
14,87170
16,00000
14,98481
-66,62825
598
-8,00509
3
14,98481
16,00000
14,99822
-8,00509
598
-0,93994
4
14,99822
16,00000
14,99979
-0,93994
598
-0,11007
5
14,99979
16,00000
14,99998
-0,11007
598
-0,01288
6
14,99998
16,00000
15,00000
-0,01288
598
-0,00151
7
15,00000
16,00000
15,00000
-0,00151
598
-0,00018

Jadi menurut metode interpolasi linier hasil ketiga akar – akarnya adalah {3,-7,15}




2.     Metode Newton Raphson

Persamaan yang diselesaikan
f(x) = 2x3 – 22x2 – 162x + 630 = 0
Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah :
f'’(x) = 6x2 – 44x – 162
Dengan menggunakan persamaan
xi+1 = xi
Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalkan x1 = 1 :
f(x1 = 1) = 2(1)3 – 22(1)2 – 162(1) + 630 = 448
f'’(x1 = 1) = 6(1)2 – 44(1) – 162 =  -200
x2 = 1 –  = 3,24
Langkah berikutnya nilai x2 = 3.24 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya:
f(x2 = 3,24) = 2(3,24)3 – 22(3,24)2 – 162(3,24) + 630 = -57,80275
f'’(x2 = 3,24) = 6(3,24)2 – 44(3,24) – 162 =  -241,57440
x3 = 3,24 –  = 3,00072
Hitungan dilanjutkan dengan menggunakan program Microsoft Excel dan hasilnya diberikan dalam tabel 2.2












Tabel 2.2 Hasil Perhitungan dengan Metode Newton-Raphson


No
xi
x(i+1)
f(xi)
f(xi+1)
f'(xi)

1
1,00000
3,24000
448,00000
-57,80275
-200,00000

2
3,24000
3,00072
-57,80275
-0,17396
-241,57440

3
3,00072
3,00000
-0,17396
0,00000
-240,00580

4
3,00000
3,00000
0,00000
0,00000
-240,00000









Dengan cara yang sama diperoleh akar – akar yang lainnya

No
xi
x(i+1)
f(xi)
f(xi+1)
f'(xi)
1
-6,00000
-7,18868
378,00000
-85,31069
318,00000
2
-7,18868
-7,00496
-85,31069
-2,18588
464,36454
3
-7,00496
-7,00000
-2,18588
-0,00158
440,63558
4
-7,00000
-7,00000
-0,00158
0,00000
440,00046

No
xi
x(i+1)
f(xi)
f(xi+1)
f'(xi)
1
14,00000
15,16080
-462,00000
86,67118
398,00000
2
15,16080
15,00323
86,67118
1,70461
550,02449
3
15,00323
15,00000
1,70461
0,00071
528,43895
4
15,00000
15,00000
0,00000
0,00000
528,00000


Jadi menurut metode Newton-Raphson hasil ketiga akar – akarnya adalah {3,-7,15}










3.     Metode Secant

Iterasi pertama, diambil dua nilai awal yaitu x1 = 1 dan x2 = 4
Untuk             x1 =1,              f(x1 = 1) = 448
                        x2 =4,              f(x2 = 4) = -242
Dengan mengunakan persamaan dibwah ini dihitung :
 = 2,94783
Pada iterasi kedua, hitungan dilakukan berdasarkan nilai x2 = 4 dan x3 = 2,94783
Untuk             x2 =4,                          f(x2 = 4) = -242
                         x3 =2,94783,               f(x3 = 2,94783) = 12,51057
Dengan mengunakan persamaan yang sama dihitung :
 = 2,99955
Perhitungan dengan prosedur seperti tersebut di atas dilanjutkan dengan menggunakan program Microsoft Excel dan hasilnya dimasukkan ke dalam tabel 2.3

Tabel 2.3 Hasil Perhitungan dengan Metode Secant

No
x(i-1)
xi
x(i+1)
f(xi-1)
f(xi)
f(xi+1)
1
1,00000
4,00000
2,94783
448,00000
-242
12,51057
2
4,00000
2,94783
2,99955
-242,00000
12,51057
0,10893
3
2,94783
2,99955
3,00000
12,51057
0,10893
-0,00010
4
2,99955
3,00000
3,00000
0,10893
-0,00010
0,00000

No
x(i-1)
xi
x(i+1)
f(xi-1)
f(xi)
f(xi+1)
1
-6,00000
-8,00000
-6,85520
378,00000
-506
62,37466
2
-8,00000
-6,85520
-6,98084
-506,00000
62,37466
8,40865
3
-6,85520
-6,98084
-7,00041
62,37466
8,40865
-0,18099
4
-6,98084
-7,00041
-7,00000
8,40865
-0,18099
0,00051
5
-7,00041
-7,00000
-7,00000
-0,18099
0,000506
0,00000

No
x(i-1)
xi
x(i+1)
f(xi-1)
f(xi)
f(xi+1)
1
14,00000
16,00000
14,87170
-462,00000
598
-66,62825
2
16,00000
14,87170
14,98481
598,00000
-66,62825
-8,00509
3
14,87170
14,98481
15,00025
-66,62825
-8,00509
0,13445
4
14,98481
15,00025
15,00000
-8,00509
0,13445
-0,00026
5
15,00025
15,00000
15,00000
0,13445
-0,00026
0,00000

Jadi menurut metode Secant hasil ketiga akar – akarnya adalah {3,-7,15}

KESIMPULAN
Setelah melalui perhitungan dengan ketiga metode, yaitu Metode Interpolasi Linier, Metode Newton Raphson, dan Metode Secant mendapatkan hasil yang sama yaitu {3,-7,15}.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS