UJIAN KOMPETENSI DASAR 1
METODE KOMPUTASI DAN NUMERIK
Dibimbing Oleh :
ACHMAD BASUKI S.T. , M.T.
Dikerjakan Oleh :
BAGUS HENDRI S. I 0109015
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2011
SOAL :
2x3 – 22x2 – 162x + 630 , Carilah 3 akar persamaan tersebut dengan metode :
1. Interpolasi Linier
2. Newton Raphson
3. Secant
PENYELESAIAN :
1. Metode Interpolasi Linier
Langkah pertama adalah menghitung nilai f(x) pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai f(x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda.
Untuk x1 =1, f(x1 = 1) = 448
x2 =4, f(x2 = 4) = -242
dengan menggunakan persamaan dibawah ini didapat :
= 2,94783
f = 2(2,94783)3 – 22(2,94783)2 – 162(2,94783) + 630 = 12,51057
karena f bertanda tangan positif maka akar terletak antara x = 2,94783 dan x = 4. Selanjutnya dihitung nilai :
= 2,99955
f = 2(2,99955)3 – 22(2,99955)2 – 162(2,99955) + 630 = 0,10893
Prosedur perhitungan tersebut di atas dilanjutkan dengan menggunakan program komputer dan hasilnya diberikan pada tabel 2.1
Tabel 2.1 Hasil Perhitungan dengan Metode Interpolasi Linear | ||||||
No | xi | x(i+1) | x* | f(xi) | f(xi+1) | f(x*) |
1 | 1,00000 | 4,00000 | 2,94783 | 448,00000 | -242 | 12,51057 |
2 | 2,94783 | 4,00000 | 2,99955 | 12,51057 | -242 | 0,10893 |
3 | 2,99955 | 4,00000 | 3,00000 | 0,10893 | -242 | 0,00090 |
4 | 3,00000 | 4,00000 | 3,00000 | 0,00090 | -242 | 0,00001 |
Dengan cara yang sama diperoleh akar – akar yang lainnya
No | xi | x(i+1) | x* | f(xi) | f(xi+1) | f(x*) |
1 | -6,00000 | -8,00000 | -6,85520 | 378,00000 | -506 | 62,37466 |
2 | -6,85520 | -8,00000 | -6,98084 | 62,37466 | -506 | 8,40865 |
3 | -6,98084 | -8,00000 | -6,99750 | 8,40865 | -506 | 1,10156 |
4 | -6,99750 | -8,00000 | -6,99967 | 1,10156 | -506 | 0,14376 |
5 | -6,99967 | -8,00000 | -6,99996 | 0,14376 | -506 | 0,01875 |
6 | -6,99996 | -8,00000 | -6,99999 | 0,01875 | -506 | 0,00245 |
7 | -6,99999 | -8,00000 | -7,00000 | 0,00245 | -506 | 0,00032 |
8 | -7,00000 | -8,00000 | -7,00000 | 0,00032 | -506 | 0,00004 |
No | xi | x(i+1) | x* | f(xi) | f(xi+1) | f(x*) |
1 | 14,00000 | 16,00000 | 14,87170 | -462,00000 | 598 | -66,62825 |
2 | 14,87170 | 16,00000 | 14,98481 | -66,62825 | 598 | -8,00509 |
3 | 14,98481 | 16,00000 | 14,99822 | -8,00509 | 598 | -0,93994 |
4 | 14,99822 | 16,00000 | 14,99979 | -0,93994 | 598 | -0,11007 |
5 | 14,99979 | 16,00000 | 14,99998 | -0,11007 | 598 | -0,01288 |
6 | 14,99998 | 16,00000 | 15,00000 | -0,01288 | 598 | -0,00151 |
7 | 15,00000 | 16,00000 | 15,00000 | -0,00151 | 598 | -0,00018 |
Jadi menurut metode interpolasi linier hasil ketiga akar – akarnya adalah {3,-7,15}
2. Metode Newton Raphson
Persamaan yang diselesaikan
f(x) = 2x3 – 22x2 – 162x + 630 = 0
Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah :
f'’(x) = 6x2 – 44x – 162
Dengan menggunakan persamaan
xi+1 = xi –
Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalkan x1 = 1 :
f(x1 = 1) = 2(1)3 – 22(1)2 – 162(1) + 630 = 448
f'’(x1 = 1) = 6(1)2 – 44(1) – 162 = -200
x2 = 1 – = 3,24
Langkah berikutnya nilai x2 = 3.24 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya:
f(x2 = 3,24) = 2(3,24)3 – 22(3,24)2 – 162(3,24) + 630 = -57,80275
f'’(x2 = 3,24) = 6(3,24)2 – 44(3,24) – 162 = -241,57440
x3 = 3,24 – = 3,00072
Hitungan dilanjutkan dengan menggunakan program Microsoft Excel dan hasilnya diberikan dalam tabel 2.2
Tabel 2.2 Hasil Perhitungan dengan Metode Newton-Raphson | |||||||
No | xi | x(i+1) | f(xi) | f(xi+1) | f'(xi) | ||
1 | 1,00000 | 3,24000 | 448,00000 | -57,80275 | -200,00000 | ||
2 | 3,24000 | 3,00072 | -57,80275 | -0,17396 | -241,57440 | ||
3 | 3,00072 | 3,00000 | -0,17396 | 0,00000 | -240,00580 | ||
4 | 3,00000 | 3,00000 | 0,00000 | 0,00000 | -240,00000 | ||
Dengan cara yang sama diperoleh akar – akar yang lainnya
No | xi | x(i+1) | f(xi) | f(xi+1) | f'(xi) |
1 | -6,00000 | -7,18868 | 378,00000 | -85,31069 | 318,00000 |
2 | -7,18868 | -7,00496 | -85,31069 | -2,18588 | 464,36454 |
3 | -7,00496 | -7,00000 | -2,18588 | -0,00158 | 440,63558 |
4 | -7,00000 | -7,00000 | -0,00158 | 0,00000 | 440,00046 |
No | xi | x(i+1) | f(xi) | f(xi+1) | f'(xi) |
1 | 14,00000 | 15,16080 | -462,00000 | 86,67118 | 398,00000 |
2 | 15,16080 | 15,00323 | 86,67118 | 1,70461 | 550,02449 |
3 | 15,00323 | 15,00000 | 1,70461 | 0,00071 | 528,43895 |
4 | 15,00000 | 15,00000 | 0,00000 | 0,00000 | 528,00000 |
Jadi menurut metode Newton-Raphson hasil ketiga akar – akarnya adalah {3,-7,15}
3. Metode Secant
Iterasi pertama, diambil dua nilai awal yaitu x1 = 1 dan x2 = 4
Untuk x1 =1, f(x1 = 1) = 448
x2 =4, f(x2 = 4) = -242
Dengan mengunakan persamaan dibwah ini dihitung :
= 2,94783
Pada iterasi kedua, hitungan dilakukan berdasarkan nilai x2 = 4 dan x3 = 2,94783
Untuk x2 =4, f(x2 = 4) = -242
x3 =2,94783, f(x3 = 2,94783) = 12,51057
Dengan mengunakan persamaan yang sama dihitung :
= 2,99955
Perhitungan dengan prosedur seperti tersebut di atas dilanjutkan dengan menggunakan program Microsoft Excel dan hasilnya dimasukkan ke dalam tabel 2.3
Tabel 2.3 Hasil Perhitungan dengan Metode Secant | ||||||
No | x(i-1) | xi | x(i+1) | f(xi-1) | f(xi) | f(xi+1) |
1 | 1,00000 | 4,00000 | 2,94783 | 448,00000 | -242 | 12,51057 |
2 | 4,00000 | 2,94783 | 2,99955 | -242,00000 | 12,51057 | 0,10893 |
3 | 2,94783 | 2,99955 | 3,00000 | 12,51057 | 0,10893 | -0,00010 |
4 | 2,99955 | 3,00000 | 3,00000 | 0,10893 | -0,00010 | 0,00000 |
No | x(i-1) | xi | x(i+1) | f(xi-1) | f(xi) | f(xi+1) |
1 | -6,00000 | -8,00000 | -6,85520 | 378,00000 | -506 | 62,37466 |
2 | -8,00000 | -6,85520 | -6,98084 | -506,00000 | 62,37466 | 8,40865 |
3 | -6,85520 | -6,98084 | -7,00041 | 62,37466 | 8,40865 | -0,18099 |
4 | -6,98084 | -7,00041 | -7,00000 | 8,40865 | -0,18099 | 0,00051 |
5 | -7,00041 | -7,00000 | -7,00000 | -0,18099 | 0,000506 | 0,00000 |
No | x(i-1) | xi | x(i+1) | f(xi-1) | f(xi) | f(xi+1) |
1 | 14,00000 | 16,00000 | 14,87170 | -462,00000 | 598 | -66,62825 |
2 | 16,00000 | 14,87170 | 14,98481 | 598,00000 | -66,62825 | -8,00509 |
3 | 14,87170 | 14,98481 | 15,00025 | -66,62825 | -8,00509 | 0,13445 |
4 | 14,98481 | 15,00025 | 15,00000 | -8,00509 | 0,13445 | -0,00026 |
5 | 15,00025 | 15,00000 | 15,00000 | 0,13445 | -0,00026 | 0,00000 |
Jadi menurut metode Secant hasil ketiga akar – akarnya adalah {3,-7,15}
KESIMPULAN
Setelah melalui perhitungan dengan ketiga metode, yaitu Metode Interpolasi Linier, Metode Newton Raphson, dan Metode Secant mendapatkan hasil yang sama yaitu {3,-7,15}.
0 komentar:
Posting Komentar