RSS

METODE KOMPUTASI NUMERIK KD 1


UJIAN KOMPETENSI DASAR 1
METODE KOMPUTASI DAN NUMERIK

















Dibimbing Oleh :
ACHMAD BASUKI S.T. , M.T.


Dikerjakan Oleh  :
BAGUS HENDRI S.              I 0109015



JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2011

SOAL :

2x3 – 22x2 – 162x + 630   , Carilah 3 akar persamaan tersebut dengan metode :
1.      Interpolasi Linier
2.      Newton Raphson
3.      Secant

PENYELESAIAN :

1.     Metode Interpolasi Linier

Langkah pertama adalah menghitung nilai f(x) pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai f(x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda.
Untuk              x1 =1,              f(x1 = 1) =  448
                        x2 =4,              f(x2 = 4) = -242
dengan menggunakan persamaan dibawah ini didapat :
  = 2,94783
f = 2(2,94783)3 – 22(2,94783)2 – 162(2,94783) + 630 = 12,51057
karena f bertanda tangan positif maka akar terletak antara x = 2,94783 dan x = 4. Selanjutnya dihitung nilai   :
  = 2,99955
f = 2(2,99955)3 – 22(2,99955)2 – 162(2,99955) + 630 = 0,10893
Prosedur perhitungan tersebut di atas dilanjutkan dengan menggunakan program komputer dan hasilnya diberikan pada tabel 2.1




Tabel 2.1 Hasil Perhitungan dengan Metode Interpolasi Linear

No
xi
x(i+1)
x*
f(xi)
f(xi+1)
f(x*)
1
1,00000
4,00000
2,94783
448,00000
-242
12,51057
2
2,94783
4,00000
2,99955
12,51057
-242
0,10893
3
2,99955
4,00000
3,00000
0,10893
-242
0,00090
4
3,00000
4,00000
3,00000
0,00090
-242
0,00001

Dengan cara yang sama diperoleh akar – akar yang lainnya
No
xi
x(i+1)
x*
f(xi)
f(xi+1)
f(x*)
1
-6,00000
-8,00000
-6,85520
378,00000
-506
62,37466
2
-6,85520
-8,00000
-6,98084
62,37466
-506
8,40865
3
-6,98084
-8,00000
-6,99750
8,40865
-506
1,10156
4
-6,99750
-8,00000
-6,99967
1,10156
-506
0,14376
5
-6,99967
-8,00000
-6,99996
0,14376
-506
0,01875
6
-6,99996
-8,00000
-6,99999
0,01875
-506
0,00245
7
-6,99999
-8,00000
-7,00000
0,00245
-506
0,00032
8
-7,00000
-8,00000
-7,00000
0,00032
-506
0,00004

No
xi
x(i+1)
x*
f(xi)
f(xi+1)
f(x*)
1
14,00000
16,00000
14,87170
-462,00000
598
-66,62825
2
14,87170
16,00000
14,98481
-66,62825
598
-8,00509
3
14,98481
16,00000
14,99822
-8,00509
598
-0,93994
4
14,99822
16,00000
14,99979
-0,93994
598
-0,11007
5
14,99979
16,00000
14,99998
-0,11007
598
-0,01288
6
14,99998
16,00000
15,00000
-0,01288
598
-0,00151
7
15,00000
16,00000
15,00000
-0,00151
598
-0,00018

Jadi menurut metode interpolasi linier hasil ketiga akar – akarnya adalah {3,-7,15}




2.     Metode Newton Raphson

Persamaan yang diselesaikan
f(x) = 2x3 – 22x2 – 162x + 630 = 0
Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah :
f'’(x) = 6x2 – 44x – 162
Dengan menggunakan persamaan
xi+1 = xi
Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalkan x1 = 1 :
f(x1 = 1) = 2(1)3 – 22(1)2 – 162(1) + 630 = 448
f'’(x1 = 1) = 6(1)2 – 44(1) – 162 =  -200
x2 = 1 –  = 3,24
Langkah berikutnya nilai x2 = 3.24 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya:
f(x2 = 3,24) = 2(3,24)3 – 22(3,24)2 – 162(3,24) + 630 = -57,80275
f'’(x2 = 3,24) = 6(3,24)2 – 44(3,24) – 162 =  -241,57440
x3 = 3,24 –  = 3,00072
Hitungan dilanjutkan dengan menggunakan program Microsoft Excel dan hasilnya diberikan dalam tabel 2.2












Tabel 2.2 Hasil Perhitungan dengan Metode Newton-Raphson


No
xi
x(i+1)
f(xi)
f(xi+1)
f'(xi)

1
1,00000
3,24000
448,00000
-57,80275
-200,00000

2
3,24000
3,00072
-57,80275
-0,17396
-241,57440

3
3,00072
3,00000
-0,17396
0,00000
-240,00580

4
3,00000
3,00000
0,00000
0,00000
-240,00000









Dengan cara yang sama diperoleh akar – akar yang lainnya

No
xi
x(i+1)
f(xi)
f(xi+1)
f'(xi)
1
-6,00000
-7,18868
378,00000
-85,31069
318,00000
2
-7,18868
-7,00496
-85,31069
-2,18588
464,36454
3
-7,00496
-7,00000
-2,18588
-0,00158
440,63558
4
-7,00000
-7,00000
-0,00158
0,00000
440,00046

No
xi
x(i+1)
f(xi)
f(xi+1)
f'(xi)
1
14,00000
15,16080
-462,00000
86,67118
398,00000
2
15,16080
15,00323
86,67118
1,70461
550,02449
3
15,00323
15,00000
1,70461
0,00071
528,43895
4
15,00000
15,00000
0,00000
0,00000
528,00000


Jadi menurut metode Newton-Raphson hasil ketiga akar – akarnya adalah {3,-7,15}










3.     Metode Secant

Iterasi pertama, diambil dua nilai awal yaitu x1 = 1 dan x2 = 4
Untuk             x1 =1,              f(x1 = 1) = 448
                        x2 =4,              f(x2 = 4) = -242
Dengan mengunakan persamaan dibwah ini dihitung :
 = 2,94783
Pada iterasi kedua, hitungan dilakukan berdasarkan nilai x2 = 4 dan x3 = 2,94783
Untuk             x2 =4,                          f(x2 = 4) = -242
                         x3 =2,94783,               f(x3 = 2,94783) = 12,51057
Dengan mengunakan persamaan yang sama dihitung :
 = 2,99955
Perhitungan dengan prosedur seperti tersebut di atas dilanjutkan dengan menggunakan program Microsoft Excel dan hasilnya dimasukkan ke dalam tabel 2.3

Tabel 2.3 Hasil Perhitungan dengan Metode Secant

No
x(i-1)
xi
x(i+1)
f(xi-1)
f(xi)
f(xi+1)
1
1,00000
4,00000
2,94783
448,00000
-242
12,51057
2
4,00000
2,94783
2,99955
-242,00000
12,51057
0,10893
3
2,94783
2,99955
3,00000
12,51057
0,10893
-0,00010
4
2,99955
3,00000
3,00000
0,10893
-0,00010
0,00000

No
x(i-1)
xi
x(i+1)
f(xi-1)
f(xi)
f(xi+1)
1
-6,00000
-8,00000
-6,85520
378,00000
-506
62,37466
2
-8,00000
-6,85520
-6,98084
-506,00000
62,37466
8,40865
3
-6,85520
-6,98084
-7,00041
62,37466
8,40865
-0,18099
4
-6,98084
-7,00041
-7,00000
8,40865
-0,18099
0,00051
5
-7,00041
-7,00000
-7,00000
-0,18099
0,000506
0,00000

No
x(i-1)
xi
x(i+1)
f(xi-1)
f(xi)
f(xi+1)
1
14,00000
16,00000
14,87170
-462,00000
598
-66,62825
2
16,00000
14,87170
14,98481
598,00000
-66,62825
-8,00509
3
14,87170
14,98481
15,00025
-66,62825
-8,00509
0,13445
4
14,98481
15,00025
15,00000
-8,00509
0,13445
-0,00026
5
15,00025
15,00000
15,00000
0,13445
-0,00026
0,00000

Jadi menurut metode Secant hasil ketiga akar – akarnya adalah {3,-7,15}

KESIMPULAN
Setelah melalui perhitungan dengan ketiga metode, yaitu Metode Interpolasi Linier, Metode Newton Raphson, dan Metode Secant mendapatkan hasil yang sama yaitu {3,-7,15}.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

0 komentar: