SOAL :
3x1 -5x2 +10x3 +4x4 = 54,75
x1 + 4x2 - 2x3 +6x4 =27
6x1 +5x2 +3x3 -2x4 = 23,25
-8x1 -6x2 +5x3 +7x4 = 34,25
Selesaikan persamaan linier di atas dengan Metode Tridiagonal (Metode Sapuan Ganda Choleski)
PENYELESAIAN :
Pada prinsipnya bentuk daripada pengerjaan Metode Tridiagonal adalah sebagai berikut :
1. membentuk persamaan-persamaan linier ke dalam bentuk
b1x1 + c1x2 = d1
a2x2 + b2x2 + c2x3 = d2
+ a3x2 + b3x3 + c3x4 = d3
. . . . = .
+ aixi-1 + bixi + cixi+1 = di
. . . = .
. . = .
anxn-1 + bnxn = dn
2. Kemudian penyelesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan berikut :
Xi = Pixi+1 +Qi
Dengan :
Pi = -
Qi =
Sementara urutan pengerjaannya seperti pada skema dibawah ini :
Pi, Qi (i =1,2,3,4)
P1, Q1 P2, Q2 P3, Q3 P4, Q4
i=1 2 3 4
x1 x2 x3 x4
xi (i =1,2,3,4)
dengan catatan :
i merupakan nilai persamaan linier yang akan dicari.
Dari soal kita tentukan :
a. Menentukan variable
1. 3x1 -5x2 +10x3 +4x4 = 54,75
b1 c1
2. x1 + 4x2 - 2x3 +6x4 =27
a2 b2 c2
3. 6x1 +5x2 +3x3 -2x4 = 23,25
a3 b3 c3
4. -8x1 -6x2 +5x3 +7x4 = 34,25
a4 b4
b. Menghitung koefisien Pi dan Qi (i=1,2,3,4)
Menggunakan rumus Pi dan Qi yang telah ditulis di atas,
Pi = -
Qi =
kemudian dikerjakan menggunakan excel didapat hasil :
i | P | Q |
1 | 1,66667 | 18,25000 |
2 | 0,35294 | 1,54412 |
3 | 0,41975 | 3,25926 |
4 | 0,00000 | 1,97320 |
c. Menghitung xi
Dengan menggunakan rumus
Xi = Pixi+1 +Qi
Kemudian dilakukan penghitungan menggunakan program Ms.Excel, didapat hasil :
x4=q4 | 1,97 |
x3 | 4,09 |
x2 | 2,99 |
x1 | 23,23 |
d. Kemudian dari hasil xi yang diperoleh, dilakukan pengecekan dengan memasukkan nilai xi yang telah didapatkan ke dalam persamaan linier pada soal.
Menggunakan program Ms.Excel didapat hasil :
Persamaan | Hasil d = |
1 | 103,518 |
2 | 38,83921 |
3 | 162,6177 |
4 | -169,494 |
Dan.. Hasilnya ternyata tidak sama dengan nilai d pada persamaan awal pada soal. Sehingga jawaban xi yang diperoleh adalah SALAH.
Dari hasil yang diperoleh dalam analisis kelompok kami :
1. Cara dan urutan pengerjaan sudah tepat sesuai dengan Metode Tridiagonal
2. Kesalahan yang terdapat pada hasil akhir nilai xi bukan dikarenakan kesalahan penghitungan, namun dikarenakan soal tersebut di atas tidak dapat diselesaikan dengan Metode Tridiagonal, karena :
Bentuk awal dari persamaan pada soal, tidak memenuhi bentuk umum dari Metode Tridiagonal.
3. Kami mencoba dengan salah satu metode gaussian sebagai berikut :
Dengan pengecekan melalui matlab dengan salah satu metode gaussian yaitu
Matematis :
X = è = inv X
= X
=
Perhitungan dengan Matlab
>> y= [ 3 -5 10 4 ; 1 4 -2 6 ; 6 5 3 -2 ; -8 -6 5 7 ]
y =
3 -5 10 4
1 4 -2 6
6 5 3 -2
-8 -6 5 7
f =
54.7500
27.0000
23.2500
34.2500
>> k= inv(y)
k =
0.1232 0.0613 -0.1117 -0.1549
-0.1172 0.0141 0.2090 0.1146
-0.0164 -0.0619 0.1644 0.1094
0.0521 0.1264 -0.0659 -0.0141
>> ans= inv(y)*f
ans =
0.5000
2.7500
5.0000
4.2500
Jadi Akar – akar dari soal di atas adalah {0,5 ; 2,75 ; 5 ; 4,25}